Econometria I

Aula 33

Ricardo Gouveia-Mendes
ricardo.mendes@iscte-iul.pt

Licenciatura em Economia
2.º Semestre 2023-24

Exercícios

Exercício 8.3 🖥️

Use os dados de SONO.DTA para estimar a seguinte equação do sono:

\[ sono = \beta_0 + \beta_1\, trab + \beta_2\, educ + \beta_3\, idade + \beta_4\, idade^2 + \beta_5\, filpeq + \beta_6\, masc + u \]

1. Escreva uma equação para a heteroscedasticidade que permita que a variância de \(u\) seja diferente para homens e mulheres, sem depender de outros fatores.

\[ Var(u|X) = \theta_0 + \theta_1 masc \]

Exercício 8.3 🖥️

2. Estime os parâmetros da equação anterior. [Terá que estimar a equação do sono primeiro para obter os resíduos dos mínimos quadrados.] A variância estimada de \(u\) é maior para homens ou para mulheres?

Call:
lm(formula = residuals2 ~ masc, data = df)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-189359 -155559 -111662   26265 5465531 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   189359      20546   9.216   <2e-16 ***
masc          -28850      27296  -1.057    0.291    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 359400 on 704 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.001584,  Adjusted R-squared:  0.000166 
F-statistic: 1.117 on 1 and 704 DF,  p-value: 0.2909

A variância é maior para as mulheres.

Exercício 8.3 🖥️

3. A variância de \(u\) é estatisticamente diferente para homens e mulheres?

\[ H_0: \theta_1=0 \qquad H_1: \theta_1 \neq 0 \]

• O \(p\)-value é de 29.1%, logo não rejeitamos \(H_0\)
• A variância do erro não é estatisticamente diferente para homens e mulheres
• Não há heteroscedasticidade pela diferença entre sexos

Exercício 8.4 🖥️

Sabendo que o investimento de uma empresa (\(Y\)) depende do seu volume de vendas (\(X\)) pretende-se ajustar o modelo:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1\, X_i + u_i \qquad i = 1, \dots, 9 \]

Após estimar o modelo pelo método dos mínimos quadrados, e admitindo poder haver problemas com a utilização deste método, estimou-se posteriormente a seguinte regressão auxiliar:

\[ \hat{u}^2_i = 0.0118 + 0.0603\, X_i, \quad n=9, \quad R^2 = 0.0658 \]

1. Qual lhe parece ter sido a razão que levou o investigador a realizar a regressão auxiliar? De acordo com os resultados obtidos pensa ser o método dos mínimos quadrados o melhor para a estimação do modelo?

Exercício 8.4 🖥️

• A razão foi suspeitar da existência de heteroscedasticidade
• A regressão apresentada permite realizar o teste BP, pois usa a mesma variável explicativa que o modelo original \[ \begin{gather} H_0: \quad \theta_1 = 0\qquad H_1: \quad \theta_1 \neq 0 \\ F = \frac{R^2}{1-R^2}\frac{N-p}{k} = 0.493 \quad < \quad 5.5914 = F^{1}_{7} \end{gather} \]
• Não se rejeita \(H_0\), pelo que o modelo é homoscedástico e se deve estimar por OLS

Exercício 8.4 🖥️

2. Admitindo que a variância do erro é proporcional ao volume de vendas, ou seja, \(\mathrm{Var}(u_i|X_i)=\sigma^2 X_i\), use um método de estimação alternativo, considerando os seguintes valores para \(X\) e \(Y\): \[ X = [1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 4, 4] \] \[ Y = [1, 5, 3, 7, 8, 9, 6, 5, 7] \]

• Como método alternativo, podemos usar o Método dos Mínimos Quadrados Ponderados
• Para isso precisamos de aplicar a seguinte transformação às variáveis: \[ \frac{Y}{\sqrt{X}} = \beta_0 \frac{1}{\sqrt{X}} + \beta_1 \frac{X}{\sqrt{X}} + \frac{u}{\sqrt{X}} \]

Exercício 8.4 🖥️

Call:
lm(formula = Yh ~ X0h + X1h + 0, data = df)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.96250 -0.26250 -0.02165  0.03750  1.71040 

Coefficients:
    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
X0h  -0.6250     0.9437  -0.662 0.528994    
X1h   1.8875     0.3161   5.970 0.000559 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.7706 on 7 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9544,    Adjusted R-squared:  0.9414 
F-statistic: 73.23 on 2 and 7 DF,  p-value: 2.027e-05