Econometria I

Aula 32

Ricardo Gouveia-Mendes


Licenciatura em Economia
2.º Semestre 2023-24

Testes para a Deteção
de Heteroscedasticidade

Como detetar Heteroscedasticidade?

  • O objetivo é verificar se \(\mathrm{Var}(u_i|X_i)\) depende de \(X_i\)
  • Há três testes principais:
    • Breusch-Pagan (BP)
    • White
    • White especial
  • Todos consistem em testar a significância global de uma regressão auxiliar relativa a \(\hat{u}_i^2\) uma vez que \(\mathrm{Var}(u_i|X_i)=\mathbb{E}(u_i^2|X_i)\)

Teste de Breusch-Pagan

  1. Estimar o modelo: \(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \dots + \beta_k X_{ik} + u_i\)
  2. Estimar os resíduos \(\hat{u}\) e os seus quadrados \(\hat{u}^2\)
  3. Estimar a regressão auxiliar de \(\hat{u}^2\) com todas as variáveis explicativas do modelo original: \[ \hat{u}^2 = \theta_0 + \theta_1 X_{1i} + \dots + \theta_k X_{ik} + v_i \]
  4. Testar a significância global do modelo através de testes \(F\) ou \(LM\) \[ \begin{align} H_0: &\quad \theta_1=\dots=\theta_k=0 &\text{(Homoscedasticidade)}\\ H_1: &\quad \text{Não }H_0 &\text{(Heteroscedasticidade)} \end{align} \]

Teste de White

  1. Estimar o modelo: \(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \dots + \beta_k X_{ik} + u_i\)
  2. Estimar os resíduos \(\hat{u}\), os seus quadrados \(\hat{u}^2\), os quadrados das variáveis explicativas \(X_{ki}^2\) e os produtos cruzados das variáveis explicativas dois-a-dois \(X_{ji}X_{ki}\) com \(j\neq k\)
  3. Estimar a regressão auxiliar de \(\hat{u}^2\) com: \[ \begin{align} \hat{u}^2 &= \theta_0 + \theta_1 X_{1i} + \dots + \theta_k X_{ik} + \\ &\quad + \theta_{k+1} X_{1i}^2 + \dots + \theta_{2k} X_{ki}^2 + \\ &\quad + \theta_{2k+1} X_{1i}X_{2i} + X_{1i}X_{3i} + \dots + v_i \end{align} \]
  4. Testar a significância global do modelo através de testes \(F\) ou \(LM\) \[ \begin{align} H_0: &\quad \theta_1=\dots=\theta_{2k+1}=\dots=0 &\text{(Homoscedasticidade)} \\ H_1: &\quad \text{Não }H_0 &\text{(Heteroscedasticidade)} \end{align} \]

Teste de White especial

  1. Estimar o modelo: \(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \dots + \beta_k X_{ik} + u_i\)
  2. Estimar os resíduos \(\hat{u}\), os seus quadrados \(\hat{u}^2\), as previsões da variável dependente \(\hat{Y}_i\) e os seus quadrados \(\hat{Y}_i^2\)
  3. Estimar a regressão auxiliar de \(\hat{u}^2\) com: \[ \hat{u}^2 = \theta_0 + \theta_1 \hat{Y}_i + \theta_2 \hat{Y}_i^2 + v_i \]
  4. Testar a significância global do modelo através de testes \(F\) ou \(LM\) \[ \begin{align} H_0: &\quad \theta_1=\theta_2=0 &\text{(Homoscedasticidade)} \\ H_1: &\quad \text{Não }H_0 &\text{(Heteroscedasticidade)} \end{align} \]

Exercícios

Exercício 8.5 🖥️

Para o modelo usado em 8.2 b) calcule sucessivamente as versões \(F\) e \(LM\), bem como os valores-\(p\), dos testes:

  1. Breusch-Pagan
  2. White
  3. White especial

\[ \ln(preco) = \beta_0 + \beta_1 \ln(lote) + \beta_2 \ln(area) + \beta_3 quartos + u \]

Exercício 8.5 🖥️

Breusch-Pagan


Call:
lm(formula = lpreco ~ llote + larea + quartos, data = df)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.68551 -0.09138 -0.01546  0.11148  0.66709 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.75859    0.44022   1.723   0.0885 .  
llote        0.16797    0.03825   4.391 3.26e-05 ***
larea        0.70191    0.09292   7.554 4.70e-11 ***
quartos      0.03654    0.02753   1.327   0.1880    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1845 on 84 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6435,    Adjusted R-squared:  0.6308 
F-statistic: 50.55 on 3 and 84 DF,  p-value: < 2.2e-16

    studentized Breusch-Pagan test

data:  model
BP = 4.1885, df = 3, p-value = 0.2418

Exercício 8.5 🖥️

White


Call:
lm(formula = residuals2 ~ llote + larea + quartos + I(llote^2) + 
    I(larea^2) + I(quartos^2) + I(llote * larea) + I(llote * 
    quartos) + I(larea * quartos), data = df)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.08602 -0.02709 -0.01203  0.00832  0.39730 

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)         6.056775   3.191555   1.898   0.0614 .
llote              -0.878721   0.481022  -1.827   0.0716 .
larea              -1.275712   1.136708  -1.122   0.2652  
quartos             0.226700   0.201507   1.125   0.2640  
I(llote^2)          0.023656   0.016261   1.455   0.1498  
I(larea^2)          0.039587   0.123065   0.322   0.7486  
I(quartos^2)       -0.005083   0.009061  -0.561   0.5764  
I(llote * larea)    0.121601   0.072151   1.685   0.0959 .
I(llote * quartos) -0.025516   0.032044  -0.796   0.4283  
I(larea * quartos) -0.001072   0.048275  -0.022   0.9823  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.07334 on 78 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1084,    Adjusted R-squared:  0.00556 
F-statistic: 1.054 on 9 and 78 DF,  p-value: 0.406

White especial


Call:
lm(formula = residuals2 ~ fitted + fitted2, data = df)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.05965 -0.03188 -0.01365  0.00528  0.42027 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   5.0173     3.3503   1.498    0.138
fitted       -1.6995     1.1652  -1.459    0.148
fitted2       0.1443     0.1011   1.427    0.157

Residual standard error: 0.07297 on 85 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.03841,   Adjusted R-squared:  0.01579 
F-statistic: 1.698 on 2 and 85 DF,  p-value: 0.1893