Econometria I

Aula 26

Ricardo Gouveia-Mendes
ricardo.mendes@iscte-iul.pt

Licenciatura em Economia
2.º Semestre 2023-24

Notas sobre
Teoria Assimptótica

Técnicas e Dimensão da Amostra

Amostras de qualquer dimensão

Pressupostos OLS

Linearidade nos parâmetros
Amostra aleatória
Independência do erro: \(\mathbb{E}(u|X)=0\)
Ausência de colinearidade perfeita
Homoscedasticidade: \(\mathrm{Var}(u|X)=\sigma^2\)
Normalidade do erro: \(u\sim\mathcal{N}\left(0,\sigma^2\right)\)

Propriedades OLS

(1-4). Centricidade: \(\mathbb{E}\left(\boldsymbol{\hat{\beta}}\right)=\boldsymbol{\beta}\)

(1-5). Eficiência (variância mínima entre os estimadores centrados)

(1-6). Normalidade:

\[ \begin{gather} \hat{\beta}_j \sim \mathcal{N}\left(\beta_j, \sigma^2_{\hat{\beta}_j}\right) \\ t\sim t_{N-p},\quad F\sim F^q_{N-p} \end{gather} \]

Técnicas e Dimensão da Amostra

Amostras de grande dimensão \(N\to\infty\)

Pressupostos OLS

Linearidade nos parâmetros
Amostra aleatória
Independência do erro: \(\mathbb{E}(u|X)=0\)
Ausência de colinearidade perfeita
Homoscedasticidade: \(\mathrm{Var}(u|X)=\sigma^2\)

Normalidade do erro: \(u\sim\mathcal{N}\left(0,\sigma^2\right)\)

Propriedades assimptóticas OLS

(1-4). Consistência: \(\lim_{N\to\infty} \mathbb{E}\left(\boldsymbol{\hat{\beta}}\right)=\boldsymbol{\beta}\)

(1-5). Eficiência assimptótica

(1-5). Normalidade assimptótica:

\[ \begin{gather} \hat{\beta}_j \,\dot\sim\, \mathcal{N}\left(\beta_j, \sigma^2_{\hat{\beta}_j}\right)\\ t\,\dot\sim\, t_{N-p},\quad F\,\dot\sim\, F^q_{N-p},\quad LM \,\dot\sim\, \chi^2_q \end{gather} \]

O teste do Multiplicador de Lagrange

Válido apenas assimptoticamente
Aplicável nos mesmos casos do teste \(F\):
- Comparação de modelos (modelo geral vs. modelo com \(q\) restrições)
- Significância global (modelo geral vs. modelo com \(k\) restrições)

O teste do Multiplicador de Lagrange

Estatística utilizada: \[ \boxed{LM=N\times R^2_{\hat{v}} \,\dot\sim\, \chi^2_q} \]
Em que \(R^2_{\hat{v}}\) se refere ao modelo: \[ \hat{v} = \gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \dots + \gamma_k X_k+w \]
E \(\hat{v}\) são estimativas do erro de um modelo com \(q\) restrições lineares aplicadas ao modelo geral: \[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots + \beta_k X_k + u \]

O teste do Multiplicador de Lagrange

Exemplo

\[ Y=\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \beta_4 X_4 +u \] \[ H_0: \beta_2=\beta_3=0 \qquad H_1: \text{ Não } H_0 \]

Estimar o modelo restrito: \(Y=\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_4 X_4 +v\)
Calcular os resíduos do modelo restrito: \(\hat{v}\)
Estimar a regressão dos resíduos nas variáveis explicativas do modelo global: \(\hat{v}=\gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \gamma_2 X_2 + \gamma_3 X_3 + \gamma_4 X_4 +w\) e obter o \(R^2_{\hat{v}}\)
Realizar o teste \(LM=N\times R^2_{\hat{v}} \,\dot\sim\, \chi^2_2\)
1. valor crítico
2. \(p\)-value

O teste do Multiplicador de Lagrange

Testar a Significância Global

Para a significância global (\(q=k\)) a estatística simplifica-se: \[ \boxed{LM=N\times R^2 \,\dot\sim\, \chi^2_k} \]
O modelo restrito é simplesmente \(Y=\beta_0+v\)
Como \(\hat{v}= \gamma_0 + \gamma_1 X_1 + \dots + \gamma_k X_k+w\), isso implica que: \[ Y = (\beta_0 + \gamma_0) + \gamma_1 X_1 + \dots + \gamma_k X_k+w \]
Ou seja, o \(R^2\) deste modelo é igual ao do modelo geral

Exercícios

Exercício 5.1 🖥️

Considere os dados em PESO.DTA e o seguinte modelo para explicar o peso à nascença:

\[ peso = \beta_0 + \beta_1 cigs + \beta_2 ordn + \beta_3 rend + \beta_4 educm + \beta_5 educp +u \]

onde peso é o peso à nascença, \(cigs\) é o número médio de cigarros fumados pela mãe durante a gravidez, \(ordn\) é a ordem de nascimento da criança, \(rend\) é o rendimento anual familiar, \(educm\) e \(educp\) são o número de anos de escolaridade da mãe e do pai, respectivamente. Usando o teste \(F\) e o teste do multiplicador de Lagrange (\(LM\)):

Teste a hipótese de que, após ter em conta os outros fatores, a educação dos pais não tem efeito no peso do bebé à nascença.

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a)

\[ H_0: \beta_4 = \beta_5 = 0 \qquad H_1: \text{ Não } H_0 \]

Teste F

Estimação do modelo geral: regress peso cigs ordn rend educm educp


Call:
lm(formula = peso ~ cigs + ordn + rend + educm + educp, data = df)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2.6829 -0.3314  0.0320  0.3681  4.2470 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3.140262   0.152898  20.538  < 2e-16 ***
cigs        -0.016677   0.004591  -3.632 0.000305 ***
ordn         0.037716   0.028163   1.339 0.181015    
rend         0.001215   0.001484   0.818 0.413459    
educm       -0.008342   0.013163  -0.634 0.526521    
educp        0.018716   0.011730   1.596 0.111100    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.569 on 599 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.0363,    Adjusted R-squared:  0.02826 
F-statistic: 4.513 on 5 and 599 DF,  p-value: 0.0004788

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste F

Estimação do modelo restrito: regress peso cigs ordn rend


Call:
lm(formula = peso ~ cigs + ordn + rend, data = df)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2.6901 -0.3356  0.0233  0.3737  4.2440 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  3.254679   0.068931  47.217  < 2e-16 ***
cigs        -0.017389   0.004557  -3.816  0.00015 ***
ordn         0.036186   0.027945   1.295  0.19585    
rend         0.002047   0.001313   1.559  0.11952    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5693 on 601 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.03201,   Adjusted R-squared:  0.02718 
F-statistic: 6.625 on 3 and 601 DF,  p-value: 0.0002084

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste F

Realização do teste com a estatística \(F\) para um nível de significância de 5%:

\[ \begin{align} H_0: &\beta_4 = \beta_5 = 0 \\ H_1: &\text{ Não } H_0 \end{align} \] \[ \begin{align} F &= \frac{R^2 - R^2_*}{1 - R^2} \frac{N-p}{q} = \\ &= 1.3332 < 3.0108 = F^{2}_{599} \\[1em] p\text{-value} &= 0.2644 > 0.05 = \alpha \end{align} \]

Não rejeitamos a hipótese nula
O modelo restrito parece melhor
A educação dos pais não tem efeito no peso do bebé à nascença

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste LM

Teste LM

Estimar o modelo restrito ✅
Calcular resíduos do modelo restrito: predict vhat, resid
Estimar o modelo dos resíduos e obter o respetivo \(R^2\):
regress vhat cigs ordn rend educm educp


Call:
lm(formula = uhat ~ cigs + ordn + rend + educm + educp, data = df)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2.6829 -0.3314  0.0320  0.3681  4.2470 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.1144165  0.1528979  -0.748    0.455
cigs         0.0007121  0.0045913   0.155    0.877
ordn         0.0015302  0.0281633   0.054    0.957
rend        -0.0008325  0.0014845  -0.561    0.575
educm       -0.0083417  0.0131635  -0.634    0.527
educp        0.0187163  0.0117298   1.596    0.111

Residual standard error: 0.569 on 599 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.004432,  Adjusted R-squared:  -0.003878 
F-statistic: 0.5333 on 5 and 599 DF,  p-value: 0.7511

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste LM

Realização do teste \(LM\) para um nível de significância de 5%:

\[ \begin{align} LM &= N\times R^2_{\hat{v}} = \\ &= 2.6813 < 5.9915 = \chi^2_{2} \\[1em] p\text{-value} &= 0.2617 > 0.05 = \alpha \end{align} \]

Não rejeitamos a hipótese nula
Pelo que chegamos exatamente à mesma conclusão que anteriormente

Exercício 5.1 🖥️

Alínea b)

Teste a significância global do modelo.

\[ H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta_5 = 0 \qquad H_1: \text{ Não } H_0 \\ \]

Teste F

\[ \begin{align} F &= \frac{R^2}{1 - R^2} \frac{N-p}{k} = \\ &= 4.5128 > 2.2291 = F^{5}_{599} \\[1em] p\text{-value} &= 5e-04 < 0.05 = \alpha \end{align} \]

Rejeitamos a hipótese nula. O modelo ajusta-se bem aos dados.

Teste LM

\[ \begin{align} LM &= N\times R^2 = \\ &= 21.9625 > 11.0705 = \chi^2_{5} \\[1em] p\text{-value} &= 5e-04 < 0.05 = \alpha \end{align} \]

Rejeitamos a hipótese nula. O modelo ajusta-se bem aos dados.

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Notas sobreTeoria Assimptótica

Técnicas e Dimensão da Amostra

Amostras de qualquer dimensão

Pressupostos OLS

Propriedades OLS

Técnicas e Dimensão da Amostra

Amostras de grande dimensão \(N\to\infty\)

Pressupostos OLS

Propriedades assimptóticas OLS

O teste do Multiplicador de Lagrange

O teste do Multiplicador de Lagrange

O teste do Multiplicador de Lagrange

Exemplo

O teste do Multiplicador de Lagrange

Testar a Significância Global

Exercícios

Exercício 5.1 🖥️

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a)

Teste F

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste F

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste F

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste LM

Teste LM

Exercício 5.1 🖥️

Alínea a) | Teste LM

Exercício 5.1 🖥️

Alínea b)

Teste F

Teste LM

Notas sobre
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