import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.8.14%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Aula%2012%20-%20Econometria%201%22%2C%0A%20%20%20%20css_file%3D%22notebookscss.css%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22margin-top%3A3em%3Bmargin-bottom%3A7em%3Bwidth%3D'100%25''%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3Cpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Csource%20srcset%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fnegative%2Frgb_ibs_en_horizontal_negative.png%22%20media%3D%22(prefers-color-scheme%3A%20dark)%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fmain%2Frgb_ibs_en_horizontal_main.png%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3C%2Fpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctitle%3EEconometria%20I%3C%2Ftitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csubtitle%3EAula%2012%20%E2%80%94%20Forma%20Funcional%20e%20Tranforma%C3%A7%C3%A3o%20de%20Vari%C3%A1veis%3C%2Fsubtitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cauthor%3ERicardo%20Gouveia-Mendes%3C%2Fauthor%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cemail%3E%3Ca%20href%3D%22mailto%3Aricardo.mendes%40iscte-iul.pt%22%3Ericardo.mendes%40iscte-iul.pt%3C%2Fa%3E%3C%2Femail%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csemester%3ELicenciatura%20em%20Economia%3Cbr%3E2.%C2%BA%20Semestre%202024-25%3C%2Fsemester%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Chr%20style%3D%22border-top%3A8px%20dotted%3Bmargin%3A2em%200em%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20statsmodels.api%20as%20sm%0A%20%20%20%20import%20statsmodels.formula.api%20as%20smf%0A%20%20%20%20import%20plotly.express%20as%20px%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20px%2C%20sm%2C%20smf%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Forma%20Funcional%3Cbr%3Ee%20Transforma%C3%A7%C3%A3o%20de%20Vari%C3%A1veis%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20O%20Pressuposto%20da%20Linearidade%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Temos%20dito%20que%20o%20m%C3%A9todo%20dos%20m%C3%ADnimos%20quadrados%20estabelece%20uma%20**rela%C3%A7%C3%A3o%20linear%20entre%20as%20vari%C3%A1veis**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Na%20verdade%2C%20**n%C3%A3o%20%C3%A9%20bem%20assim**%3A%20o%20modelo%20tem%20que%20ser%20**linear%20nos%20par%C3%A2metros**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24f(Y_i)%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20g_1(X_%7B1i%7D)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%5C%2C%20g_k(X_%7B1i%7D)%20%2B%20u_i%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Ou%20seja%2C%20o%20que%20tem%20que%20acontecer%20%C3%A9%20que%20cada%20%24%5Cbeta_j%24%2C%20%24j%5Cin%20%3D%201%2C%5Cdots%2C%20k%24%20corresponda%20a%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbeta_j%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20f(Y)%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20g_j(X_j)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Um%20exemplo%20de%20um%20modelo%20**linear%20nos%20par%C3%A2metros**%2C%20mas%20com%20n%C3%A3o-linearidades%20nas%20vari%C3%A1veis%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Clog(Y_i)%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20X_%7B1i%7D%20%2B%20%5Cbeta_2%5C%2C%20%5Clog(X_%7B2i%7D)%20%2B%20%5Cbeta_3%5C%2C%20X_%7B3i%7D%20%2B%20%5Cbeta_4%5C%2C%20X_%7B3i%7D%5E2%20%2B%20u_i%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Por%20contraste%2C%20exemplo%20de%20um%20modelo%20**n%C3%A3o-linear%20nos%20par%C3%A2metros**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24Y_i%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cbeta_1%5C%2C%20X_%7B1i%7D%20%2B%20%5Cbeta_2%5C%2C%20X_%7B2i%7D%7D%20%2B%20u_i%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Alguns%20modelos%2C%20s%C3%A3o%20**lineariz%C3%A1veis**.%20Exemplo%20de%20uma%20fun%C3%A7%C3%A3o%20produ%C3%A7%C3%A3o%20Cobb-Douglas%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Y_i%20%3D%20%5Cbeta_0%20K_i%5E%7B%5Cbeta_1%7D%20L_i%5E%7B%5Cbeta_2%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clog(Y_i)%3D%20%5Clog(%5Cbeta_0)%20%2B%20%5Cbeta_1%20%5Clog(K_i)%20%2B%20%5Cbeta_2%20%5Clog(L_i)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Aplica%C3%A7%C3%A3o%20do%20M%C3%A9todo%20dos%20M%C3%ADnimos%20Quadrados%20a%20Modelos%20N%C3%A3o%20Lineares%20nas%20Vari%C3%A1veis%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Clog(Y_i)%20%3D%20%5Clog(%5Cbeta_0)%20%2B%20%5Cbeta_1%20%5Clog(X_%7B1i%7D)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%20%5Clog(X_%7Bki%7D)%20%2B%20u_i%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Definindo%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Bequation*%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20%5Clog(X_%7B11%7D)%20%26%20%5Cdots%20%26%20%5Clog(X_%7Bk1%7D)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20%5Clog(X_%7B12%7D)%20%26%20%5Cdots%20%26%20%5Clog(X_%7Bk2%7D)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20%5Clog(X_%7B1N%7D)%20%26%20%5Cdots%20%26%20%5Clog(X_%7BkN%7D)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7By%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clog(Y_1)%20%5C%5C%20%5Clog(Y_2)%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%5Clog(Y_N)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboldsymbol%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clog(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D_0)%20%5C%5C%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D_1%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D_k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bequation*%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20podemos%20continuar%20a%20usar%20a%20**f%C3%B3rmula%20habitual**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboldsymbol%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7By%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Mas%20%C3%A9%20evidente%20que%20os%20**par%C3%A2metros%20mudam%20o%20seu%20significado**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20A%20estimativa%20para%20%24%5Cbeta_0%24%20exige%20um%20passo%20adicional%3A%20%24%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%20%3D%20e%5E%7B%5Clog(%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0)%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Alguns%20Casos%20Comuns%20em%20Economia%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Rela%C3%A7%C3%A3o%20Quadr%C3%A1tica%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BY_i%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_j%5C%2C%20X_%7Bji%7D%20%2B%20%5Cbeta_%7Bj%2B1%7D%5C%2C%20X_%7Bji%7D%5E2%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20u_i%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Neste%20caso%2C%20o%20efeito%20parical%20de%20%24X_%7Bji%7D%24%20em%20%24Y_i%24%20%C3%A9%20dado%20por%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%3D%20%5Cbeta_j%20%2B%202%5Cbeta_%7Bj%2B1%7D%20X_%7Bji%7D%20%3D%20f(X_%7Bji%7D)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Permite%20**efeitos%20positivos%20e%20negativos%20para%20diferentes%20valores%20de%20%24X_%7Bji%7D%24**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20valor%20m%C3%A1ximo%20(%24%5Cbeta_j%3C0%24)%20ou%20m%C3%ADnimo%20(%24%5Cbeta_j%3E0%24)%20de%20%24Y_i%24%20%C3%A9%20atingido%20quando%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24X_%7Bji%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cbeta_j%7D%7B2%5Cbeta_%7Bj%2B1%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Rela%C3%A7%C3%A3o%20Logar%C3%ADtmica%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5Clog(Y_i)%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20%5Clog(X_%7B1i%7D)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%5C%2C%20%5Clog(X_%7Bki%7D)%20%2B%20u_i%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20efeito%20parcial%20de%20%24X_%7Bji%7D%24%20sobre%20%24Y_i%24%20%C3%A9%20dado%20por%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clog(Y_i)%20%26%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20%5Clog(X_%7B1i%7D)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%5C%2C%20%5Clog(X_%7Bki%7D)%20%2B%20u_i%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5CLeftrightarrow%20Y_i%20%26%3D%20e%5E%7B%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20%5Clog(X_%7B1i%7D)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%5C%2C%20%5Clog(X_%7Bki%7D)%20%2B%20u_i%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20e%5E%7B(%5Ccdot)%7D%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20%5Cfrac%7B1%7D%7BX_%7Bji%7D%7D%20e%5E%7B(%5Ccdot)%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20%5Cfrac%7BY_i%7D%7BX_%7Bji%7D%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7BY_i%7D%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%7BX_%7Bji%7D%7D%20%5Cquad%20%5Clongrightarrow%20%5Cquad%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20Y_i%7D%7BY_i%7D%5Ctimes%20100%20%5Capprox%20%20%5Cbeta_j%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20X_%7Bji%7D%7D%7BX_%7Bji%7D%7D%20%5Ctimes%20100%20%5CLeftrightarrow%20%5CDelta%5C%25%20Y_i%20%5Capprox%20%20%5Cbeta_j%20%5CDelta%5C%25%20X_%7Bji%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Ou%20seja%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Chat%7B%5Cbeta%7D_j%20%5Capprox%20%5Cfrac%7B%5CDelta%5C%25%20%5Chat%7BY%7D_i%7D%7B%5CDelta%5C%25%20X_%7Bji%7D%7D%20%5Cequiv%20%5Chat%7B%5Cvarepsilon%7D_%7B_Y%2C_%7BX_j%7D%7D%20%5Cquad%2C%5Cquad%20%5Cforall%20j%3D1%2C%5Cdots%2Ck%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Pressuposto%20impl%C3%ADcito%3A%20a%20elasticidade%20entre%20as%20duas%20vari%C3%A1veis%20%C3%A9%20constante%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Rela%C3%A7%C3%A3o%20Exponencial%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BY_i%20%3D%20e%5E%7B%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20X_%7B1i%7D%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%5C%2C%20X_%7Bki%7D%20%2B%20u_i%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Neste%20caso%2C%20%C3%A9%20poss%C3%ADvel%20linearizar%20o%20modelo%3A%20aplica-se%20logaritmos%20a%20ambos%20os%20lados%20da%20equa%C3%A7%C3%A3o%20obt%C3%A9m-se%20um%20**modelo%20log-linear**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Clog(Y_i)%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20X_%7B1i%7D%20%2B%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%5C%2C%20X_%7Bki%7D%20%2B%20u_i%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20efeito%20parcial%20de%20%24X_%7Bji%7D%24%20sobre%20%24Y_i%24%20%C3%A9%20dado%20por%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20e%5E%7B(%5Ccdot)%7D%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20e%5E%7B(%5Ccdot)%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20Y_i%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7BY_i%7D%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%20%5Cquad%20%5Clongrightarrow%20%5Cquad%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20Y_i%7D%7BY_i%7D%20%5Ctimes%20100%20%5Capprox%20%20%5Cbeta_j%20%5CDelta%20X_%7Bji%7D%20%5Ctimes%20100%20%5CLeftrightarrow%20%5CDelta%5C%25%20Y_i%20%5Capprox%20%20100%5Cbeta_j%20%5CDelta%20X_%7Bji%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Ou%20seja%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24100%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_j%5C%25%20%3D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%5C%25%20%5Chat%7BY%7D_i%7D%7B%5CDelta%20X_%7Bji%7D%7D%20%5Cquad%2C%5Cquad%20%5Cforall%20j%3D1%2C%5Cdots%2Ck%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Rela%C3%A7%C3%A3o%20Semi-logar%C3%ADtmica%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BY_i%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20%5Clog(X_%7B1i%7D)%20%2B%20%5Cdots%20%2B%20%5Cbeta_k%5C%2C%20%5Clog(X_%7Bki%7D)%20%2B%20u_i%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20efeito%20parcial%20de%20%24X_%7Bji%7D%24%20sobre%20%24Y_i%24%20%C3%A9%20dado%20por%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20%5Clog(X_%7Bji%7D)%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5C%2C%20%5Clog(X_%7Bji%7D)%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20%5Cfrac%7B1%7D%7BX_%7Bji%7D%7D%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cpartial%5C%2C%20Y_i%20%26%3D%20%20%5Cbeta_j%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20X_%7Bji%7D%7D%7BX_%7Bji%7D%7D%20%5Cquad%20%5Clongrightarrow%20%5Cquad%20%5CDelta%20Y_i%20%5Ctimes%20100%20%5Capprox%20%20%5Cbeta_j%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20X_%7Bji%7D%7D%7BX_%7Bji%7D%7D%20%5Ctimes%20100%20%5CLeftrightarrow%20%5CDelta%20Y_i%20%5Capprox%20%20%5Cfrac%7B%5Cbeta_j%7D%7B100%7D%20%5CDelta%5C%25%20X_%7Bji%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20A%20ter%20em%20conta...%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20S%C3%B3%20vari%C3%A1veis%20com%20**todas%20as%20observa%C3%A7%C3%B5es%20positivas**%20podem%20ser%20**logaritmizadas**%20(a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20logaritmo%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20definida%20para%20valores%20negativos)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Nos%20**modelos%20logar%C3%ADtmicos**%20podem%20**ignorar-se%20as%20unidades%20de%20medida**%20pois%20a%20interpreta%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20em%20percentagem%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Geralmente%20usam-se%20**logaritmos**%20para%20representar%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Vari%C3%A1veis%20monet%C3%A1rias%20(sal%C3%A1rios%2C%20vendas%2C%20etc.)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Vari%C3%A1veis%20inteiras%20com%20valores%20elevados%20(popula%C3%A7%C3%A3o%2C%20n.%C2%BA%20trabalhadores%2C%20etc.)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Vari%C3%A1veis%20medidas%20em%20anos%20s%C3%A3o%20geralmente%20consideradas%20na%20forma%20quadr%C3%A1tica%20(educa%C3%A7%C3%A3o%2C%20experi%C3%AAncia%2C%20idade%2C%20etc.)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Exerc%C3%ADcios%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exerc%C3%ADcio%203.7%20%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fcdn.icon-icons.com%2Ficons2%2F2107%2FPNG%2F256%2Ffile_type_stata_icon_130148.png%22%20style%3D%22display%3Ainline%3Bwidth%3A0.9em%3Bmargin-left%3A0.25em%3B%22%2F%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Suponha%20que%20as%20seguintes%20observa%C3%A7%C3%B5es%20s%C3%A3o%20o%20resultado%20da%20medi%C3%A7%C3%A3o%20da%20produ%C3%A7%C3%A3o%20agr%C3%ADcola%20(%24Y%24)%20obtida%20em%20v%C3%A1rias%20parcelas%20de%20terra%2C%20para%20cada%20n%C3%ADvel%20de%20adubo%20(%24X%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20X%20%7C%20Y%20%7C%20%7C%20%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%3A-%3A%7C%3A-%3A%7C%3A-%3A%7C%3A-%3A%7C%3A-%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%201%20%7C%202%20%7C%203%20%7C%201%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%202%20%7C%204%20%7C%201%20%7C%205%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%203%20%7C%205%20%7C%206%20%7C%20%7C%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%204%20%7C%202%20%7C%201%20%7C%203%20%7C%202%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20O%20modelo%20proposto%20%C3%A9%3A%20%24Y_i%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%20X_i%20%2B%20%5Cbeta_2%20X_i%5E2%20%2B%20u_i%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo%2C%20ols)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**a)**%20Estime%20a%20fun%C3%A7%C3%A3o%20de%20produ%C3%A7%C3%A3o%2C%20e%20comente%20a%20diferen%C3%A7a%20entre%20este%20tipo%20de%20dados%20e%20os%20usualmente%20obtidos%20na%20an%C3%A1lise%20econ%C3%B3mica%20emp%C3%ADrica.%22%22%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Para%20criar%20a%20vari%C3%A1vel%20%60%60X%5E2%60%60%20usamos%20o%20comando%20%60gen%20X2%20%3D%20X%5E2%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Para%20estimar%20a%20regress%C3%A3o%20usamos%20o%20comando%20%60regress%20Y%20X%20X2%60%2C%20obtendo%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.center(mo.plain_text(ols.summary()))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(pd)%3A%0A%20%20%20%20df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22X%22%3A%20%5B1%2C%201%2C%201%2C%202%2C%202%2C%202%2C%203%2C%203%2C%204%2C%204%2C%204%2C%204%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Y%22%3A%20%5B2%2C%203%2C%201%2C%204%2C%201%2C%205%2C%205%2C%206%2C%202%2C%201%2C%203%2C%202%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20df%5B%22X2%22%5D%20%3D%20df%5B%22X%22%5D%20**%202%0A%20%20%20%20df%0A%20%20%20%20return%20df%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(df%2C%20smf)%3A%0A%20%20%20%20ols%20%3D%20smf.ols(%22Y%20~%20X%20%2B%20X2%22%2C%20df).fit()%0A%20%20%20%20betas%20%3D%20round(ols.params%2C%204)%0A%20%20%20%20return%20betas%2C%20ols%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(Ymax%2C%20argmaxY%2C%20betas%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**b)**%20Encontre%20o%20efeito%20na%20produ%C3%A7%C3%A3o%20prevista%20de%20se%20usar%20mais%20uma%20unidade%20de%20adubo%20e%20preveja%20a%20produ%C3%A7%C3%A3o%20m%C3%A1xima%20que%20%C3%A9%20poss%C3%ADvel%20obter.%22%22%22%3A%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Produtividade%20marginal%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5CDelta%20%5C%5Chat%7B%7BY%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5C%5CDelta%20X%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%2B2%20(%7Bbetas%5B%22X2%22%5D%7D)%20X%20%3D%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%7Bbetas%5B%22X2%22%5D%20*%202%7D%20X%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Produ%C3%A7%C3%A3o%20m%C3%A1xima%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24%5C%5Cbegin%7B%7Bgathered%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5CDelta%20%5C%5Chat%7B%7BY%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5C%5CDelta%20X%7D%7D%20%3D%200%20%5C%5CLeftrightarrow%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%7Bbetas%5B%22X2%22%5D%20*%202%7D%20X%20%3D%200%20%5C%5CLeftrightarrow%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%3D%20%7B-betas%5B%22X2%22%5D%20*%202%7D%20X%20%5C%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5C%5CLeftrightarrow%20X%20%3D%20%7Bround(argmaxY%2C4)%7D%20%5C%5Cquad%20%5C%5CRightarrow%20%5C%5Cquad%20%5C%5Chat%7B%7BY%7D%7D%20%3D%20%7Bround(Ymax%5B0%5D%2C4)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5C%5Cend%7B%7Bgathered%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(ols)%3A%0A%20%20%20%20argmaxY%20%3D%20-ols.params%5B%22X%22%5D%20%2F%20(2%20*%20ols.params%5B%22X2%22%5D)%0A%20%20%20%20argmaxY%0A%20%20%20%20return%20argmaxY%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(argmaxY%2C%20ols%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20Ymax%20%3D%20ols.predict(pd.DataFrame(%7B%22X%22%3A%20%5BargmaxY%5D%2C%20%22X2%22%3A%20%5BargmaxY**2%5D%7D))%0A%20%20%20%20Ymax%5B0%5D%0A%20%20%20%20return%20Ymax%2C%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(betas%2C%20mo%2C%20np%2C%20plot)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**c)**%20Esboce%20um%20gr%C3%A1fico%20para%20a%20produtividade%20marginal%20e%20a%20produtividade%20m%C3%A9dia%20estimadas.%20(Inclua%20explicitamente%20o%20ponto%20de%20interse%C3%A7%C3%A3o%20entre%20as%20duas%20linhas.)%22%22%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Produtividade%20marginal%20vem%20da%20al%C3%ADnea%20B)%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24Pmg%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5CDelta%20%5C%5Chat%7B%7BY%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5C%5CDelta%20X%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%7Bbetas%5B%22X2%22%5D*2%7D%20X%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Produtividade%20m%C3%A9dia%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24PMe%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Chat%7B%7BY%7D%7D%7D%7D%7B%7BX%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7Bbetas%5B%22Intercept%22%5D%7D%7D%7D%7B%7BX%7D%7D%20%2B%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%7Bbetas%5B%22X2%22%5D%7D%20X%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Ponto%20de%20interce%C3%A7%C3%A3o%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24%5C%5Cbegin%7B%7Bgathered%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09Pmg%20%3D%20PMe%20%5C%5CLeftrightarrow%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%7Bbetas%5B%22X2%22%5D*2%7D%20X%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7Bbetas%5B%22Intercept%22%5D%7D%7D%7D%7B%7BX%7D%7D%20%2B%20%7Bbetas%5B%22X%22%5D%7D%20%7Bbetas%5B%22X2%22%5D%7D%20X%20%5C%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09X%20%3D%20%5C%5Csqrt%7B%7B%5C%5Cfrac%7B%7B%7Bbetas%5B%22Intercept%22%5D%7D%7D%7D%7B%7B%7Bbetas%5B%22X2%22%5D%7D%7D%7D%7D%7D%20%5C%5CLeftrightarrow%20X%20%3D%20%7Bround(np.sqrt(betas%5B%22Intercept%22%5D%2Fbetas%5B%22X2%22%5D)%2C4)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5C%5Cend%7B%7Bgathered%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(go%2C%20np%2C%20ols)%3A%0A%20%20%20%20x%20%3D%20np.arange(0.55%2C%204%2C%200.01)%0A%20%20%20%20PmgX%20%3D%20ols.params%5B%22X%22%5D%20%2B%202%20*%20ols.params%5B%22X2%22%5D%20*%20x%0A%20%20%20%20PMeX%20%3D%20ols.params%5B%22Intercept%22%5D%20%2F%20x%20%2B%20ols.params%5B%22X%22%5D%20%2B%20ols.params%5B%22X2%22%5D%20*%20x%0A%20%20%20%20xint%20%3D%20np.sqrt(ols.params%5B%22Intercept%22%5D%20%2F%20ols.params%5B%22X2%22%5D)%0A%20%20%20%20yint%20%3D%20ols.params%5B%22X%22%5D%20%2B%202%20*%20ols.params%5B%22X2%22%5D%20*%20xint%0A%20%20%20%20plot%20%3D%20go.Figure()%0A%20%20%20%20plot.add_trace(go.Scatter(x%3Dx%2C%20y%3DPmgX%2C%20name%3D%22Pmg%22%2C%20mode%3D%22lines%22))%0A%20%20%20%20plot.add_trace(go.Scatter(x%3Dx%2C%20y%3DPMeX%2C%20name%3D%22PMe%22%2C%20mode%3D%22lines%22))%0A%20%20%20%20plot.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(x%3D%5Bxint%5D%2C%20y%3D%5Byint%5D%2C%20name%3D%22%22%2C%20mode%3D%22markers%22%2C%20showlegend%3DFalse)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plot.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_text%3D%22Produtividade%20Marginal%20a%20Produtividade%20M%C3%A9dia%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Adubo%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Produ%C3%A7%C3%A3o%20Agr%C3%ADcola%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font_family%3D%22Montserrat%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font_size%3D14%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%22%22%0A%20%20%20%20return%20PMeX%2C%20PmgX%2C%20plot%2C%20x%2C%20xint%2C%20yint%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A