import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.8.14%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Aula%2011%20-%20Econometria%201%22%2C%0A%20%20%20%20css_file%3D%22notebookscss.css%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22margin-top%3A3em%3Bmargin-bottom%3A7em%3Bwidth%3D'100%25''%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3Cpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Csource%20srcset%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fnegative%2Frgb_ibs_en_horizontal_negative.png%22%20media%3D%22(prefers-color-scheme%3A%20dark)%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fmain%2Frgb_ibs_en_horizontal_main.png%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3C%2Fpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctitle%3EEconometria%20I%3C%2Ftitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csubtitle%3EAula%2011%20%E2%80%94%20Regress%C3%A3o%20Linear%20M%C3%BAltipla%3C%2Fsubtitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cauthor%3ERicardo%20Gouveia-Mendes%3C%2Fauthor%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cemail%3E%3Ca%20href%3D%22mailto%3Aricardo.mendes%40iscte-iul.pt%22%3Ericardo.mendes%40iscte-iul.pt%3C%2Fa%3E%3C%2Femail%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csemester%3ELicenciatura%20em%20Economia%3Cbr%3E2.%C2%BA%20Semestre%202024-25%3C%2Fsemester%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Chr%20style%3D%22border-top%3A8px%20dotted%3Bmargin%3A2em%200em%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20%23%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20%23%20import%20statsmodels.api%20as%20sm%0A%20%20%20%20%23%20import%20statsmodels.formula.api%20as%20smf%0A%20%20%20%20%23%20import%20plotly.express%20as%20px%0A%20%20%20%20%23%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Propriedades%20dos%20Estimadores%20OLS%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Propriedades%20Estat%C3%ADsticas%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Pressupostos%20do%20M%C3%A9todo%20dos%20M%C3%ADnimos%20Quadrados%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.%20Linearidade%20nos%20par%C3%A2mteros%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.%20Amostra%20aleat%C3%B3ria%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%20%24%5Cmathbb%7BE%7D(u%20%20%7C%20X_1%2CX_2%2C%5Cdots%2CX_k)%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.%20Aus%C3%AAncia%20de%20colinearidade%20perfeita%20(ou%20correla%C3%A7%C3%A3o%20perfeita%20entre%20as%20vari%C3%A1veis%20explicativas)%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.%20Homoscedasticidade%3A%20%24%5Cmathrm%7BVar%7D(u%20%7C%20X_1%2CX_2%2C%5Cdots%2CX_k)%20%3D%20%5Csigma%5E2%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Estimadores%20OLS%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Genericamente%2C%20um%20modelo%20de%20regress%C3%A3o%20m%C3%BAltipla%20com%20%24k%24%20regressores%20e%20%24p%3Dk%2B1%24%20par%C3%A2metros%20pode%20ser%20representado%20por%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Bgathered%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7By%7D%7D%20%3D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cunderset%7B(N%5Ctimes%201)%7D%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7By%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_1%20%5C%5C%20y_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20y_N%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cunderset%7B(p%5Ctimes%201)%7D%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbeta_0%20%5C%5C%20%5Cbeta_1%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%5Cbeta_k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cunderset%7B(N%5Ctimes%201)%7D%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u_1%20%5C%5C%20u_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20u_N%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cunderset%7B(N%5Ctimes%20p)%7D%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B11%7D%20%26%20X_%7B21%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7Bk1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B12%7D%20%26%20X_%7B22%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7Bk2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B1N%7D%20%26%20X_%7B2N%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7BkN%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bgathered%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Os%20estimadores%20OLS%20para%20os%20par%C3%A2metros%20s%C3%A3o%20dados%20por%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%26%3D%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7By%7D%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D)%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cunderbrace%7B(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%7D_%7B%3D%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BI%7D%7D%7D%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Centricidade%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20!!!%20note%20%22Os%20Estimadores%20OLS%20s%C3%A3o%20Centrados%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09Mediante%20os%20pressupostos%201%20a%204%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*Prova%3A*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%2B%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft((%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5C%2C%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%7C%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Efici%C3%AAncia%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20!!!%20note%20%22Os%20Estimadores%20OLS%20s%C3%A3o%20Eficientes%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Mediante%20os%20pressupostos%201%20a%205%2C%20a%20vari%C3%A2ncia%20dos%20estimadores%20OLS%20%C3%A9%20dada%20por%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cmathrm%7BVar%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5Csigma%5E2%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*Prova%3A*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5Cmathrm%7BVar%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%20(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20-%20%5Cmathbb%7BE%7D(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D))%20(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20-%20%5Cmathbb%7BE%7D(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D))'%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%20(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20-%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D)%20(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20-%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D)'%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20-%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D)%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D-%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D)'%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5C%2C%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D'%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%5C%2C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09Assumindo%20**homoscedasticidade**%20(pressuposto%205)%2C%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D'%20%7C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D%5Cright)%3D%5Csigma%5E2%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BI%7D%7D%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5Cmathrm%7BVar%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft((%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5C%2C%20%5Csigma%5E2%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BI%7D%7D%20%5C%2C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cright)%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Csigma%5E2%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BI%7D%7D%5C%2C%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Csigma%5E2%20(%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D)%5E%7B-1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E%20para%20estimar%20%24%5Csigma%5E2%24%2C%20podemos%20usar%20um%20estimador%20an%C3%A1logo%20ao%20que%20us%C3%A1mos%20antes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Chat%7B%5Csigma%7D%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7Bu%7D%7D%7D%7BN-p%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Teorema%20de%20Gauss-Markov%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Sob%20os%20pressupostos%201%20a%205%20(tamb%C3%A9m%20conhecidos%20por%20pressupostos%20de%20Gauss-Markov)%2C%20os%20estimatores%20dos%20**m%C3%ADnimos%20quadrados**%20s%C3%A3o%20_estimadores%20BLUE_%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**B**est%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**L**inear%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**U**nbiased%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**E**stimator%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Exerc%C3%ADcios%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exerc%C3%ADcio%203.6%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Num%20estudo%20que%20relaciona%20a%20m%C3%A9dia%20das%20classifica%C3%A7%C3%B5es%20de%20alunos%20universit%C3%A1rios%20com%20o%20tempo%20passado%20em%20v%C3%A1rias%20atividades%2C%20foi%20distribu%C3%ADdo%20um%20inqu%C3%A9rito%20a%20v%C3%A1rios%20estudantes.%20Perguntou-se%3A%20quantas%20horas%20eles%20passavam%20por%20semana%20em%20quatro%20atividades%3A%20estudo%2C%20sono%2C%20trabalho%20e%20lazer.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Dado%20que%20estas%20categorias%20esgotam%20o%20tempo%20dispon%C3%ADvel%2C%20a%20soma%20das%20horas%20passadas%20nas%20quatro%20atividades%2C%20para%20cada%20estudante%2C%20deve%20ser%20168.%20O%20modelo%20proposto%20foi%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24m%C3%A9dia%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20estudo%20%2B%20%5Cbeta_2%5C%2C%20sono%20%2B%20%5Cbeta_3%5C%2C%20trabalho%20%2B%20%5Cbeta_4%5C%2C%20lazer%20%2B%20u%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**a)**%20No%20modelo%20acima%2C%20faz%20sentido%20manter%20constantes%20%24sono%24%2C%20%24trabalho%24%2C%20e%20%24lazer%24%2C%20enquanto%20se%20altera%20o%20%24estudo%24%3F%22%22%22%3A%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20N%C3%A3o.%20Aumentar%20o%20tempo%20dedicado%20a%20uma%20atividade%20implica%20diminuir%20o%20de%20pelo%20menos%20alguma%20das%20outras.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**b)**%20Por%20que%20raz%C3%A3o%20este%20modelo%20viola%20a%20premissa%20da%20aus%C3%AAncia%20de%20colinearidade%20perfeita%3F%22%22%22%3A%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Porque%20existe%20ume%20rela%C3%A7%C3%A3o%20exacta%20entre%20as%20vari%C3%A1veis%3A%20a%20soma%20tem%20que%20ser%20168.%20Qualquer%20uma%20delas%20pode%20ser%20escrita%20como%20uma%20combina%C3%A7%C3%A3o%20linear%20das%20outras.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**c)**%20Como%20%C3%A9%20que%20o%20modelo%20poder%C3%A1%20ser%20reformulado%20de%20forma%20a%20que%20satisfa%C3%A7a%20a%20premissa%20indicada%20em%20b)%20e%20os%20par%C3%A2metros%20tenham%20uma%20interpreta%C3%A7%C3%A3o%20%C3%BAtil%3F%22%22%22%3A%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Retirando%20do%20modelo%20uma%20das%20vari%C3%A1veis.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Isso%20altera%2C%20contudo%2C%20**o%20significado%20dos%20par%C3%A2metros**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Os%20par%C3%A2mteros%20passam%20a%20estar%20**referidos%20%C3%A0%20vari%C3%A1vel%20omitida**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Por%20exemplo%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24m%C3%A9dia%20%3D%20%5C%5Cbeta_0%20%2B%20%5C%5Cbeta_1%5C%5C%2C%20estudo%20%2B%20%5C%5Cbeta_2%5C%5C%2C%20sono%20%2B%20%5C%5Cbeta_3%5C%5C%2C%20trabalho%20%2B%20u%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20%20%24%5C%5Cbeta_1%24%20passa%20a%20ser%20a%20varia%C3%A7%C3%A3o%20que%20ocorre%20na%20m%C3%A9dia%20quando%20aumentamos%20o%20tempo%20de%20estudo%20em%20uma%20hora%20**%C3%A0%20custa**%20de%20uma%20hora%20de%20lazer.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exerc%C3%ADcio%201%20da%20Prova%20Modelo%201%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Suponha%20que%20se%20pretendia%20estudar%20a%20rela%C3%A7%C3%A3o%20entre%20a%20produtividade%20m%C3%A9dia%20dos%20trabalhadores%20nas%20f%C3%A1bricas%20(%24prod%24)%20e%20o%20n%C3%BAmero%20de%20horas%20de%20forma%C3%A7%C3%A3o%20profissional%20que%20realizaram%20(%24formacao%24)%20e%20que%20se%20estimou%20o%20seguinte%20modelo%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24prod%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_2%20formacao%20%2B%20u%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**a)**%20Refira%2C%20em%20sua%20opini%C3%A3o%2C%20qual%20o%20efeito%20esperado%20da%20vari%C3%A1vel%20forma%C3%A7%C3%A3o%20e%20que%20outros%20factores%20poder%C3%A3o%20eventualmente%20influenciar%20a%20produtividade%20dos%20trabalhadores%20e%20que%20poderiam%20ter%20sido%20considerados.%20Pensa%20que%20esses%20factores%20poder%C3%A3o%20estar%20correlacionados%20com%20as%20horas%20de%20forma%C3%A7%C3%A3o%20profissional%3F%22%22%22%3A%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20efeito%20esperado%20da%20vari%C3%A1vel%20%24formacao%24%20%C3%A9%20positivo%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20%C3%89%20poss%C3%ADvel%2C%20contudo%2C%20pensar%20noutros%20fatores%20que%20podem%20influenciar%20a%20produtividade%20m%C3%A9dia%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%20%20%20%20-%20A%20idade%20do%20trabalhador%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%20%20%20%20-%20A%20dura%C3%A7%C3%A3o%20do%20contrato%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%20%20%20%20-%20O%20n%C3%BAmero%20de%20horas%20de%20trabalho%20contratadas%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%20%20%20%20-%20O%20n%C3%BAmero%20de%20filhos%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%20%20%20%20-%20O%20n%C3%BAmero%20de%20dias%20de%20sol%20no%20ano%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%20%20%20%20-%20...%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Algumas%20destas%20vari%C3%A1veis%20podem%2C%20efetivamente%2C%20estar%20correlacionadas%20com%20as%20horas%20de%20forma%C3%A7%C3%A3o%20(ex.%3A%20dura%C3%A7%C3%A3o%20do%20v%C3%ADnculo%20laboral%20ou%20a%20idade)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**b)**%20Supondo%20que%20alguma%20das%20vari%C3%A1veis%20omitidas%20estar%C3%A1%20correlacionada%20com%20a%20%24formacao%24%20pronuncie-se%2C%20justificando%2C%20relativamente%20%C3%A0s%20propriedades%20do%20estimador%20dos%20m%C3%ADnimos%20quadrados%20de%20%24%5C%5Cbeta_1%24%20no%20modelo%20anterior.%22%22%22%3A%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Perante%20esta%20situa%C3%A7%C3%A3o%2C%20o%20pressuposto%20de%20independ%C3%AAncia%20dos%20erros%2C%20fundamental%20do%20m%C3%A9todo%20dos%20m%C3%ADnimos%20quadrados%2C%20n%C3%A3o%20se%20verifica%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20De%20facto%2C%20%24%5C%5Cmathbb%7BE%7D(u%20%7C%20formacao)%20%5C%5Cneq%200%24%20se%20as%20vari%C3%A1veis%20omitidas%20(ou%20seja%2C%20inclu%C3%ADdas%20em%20%24u%24)%20se%20correlacionam%20com%20o%20a%20vari%C3%A1vel%20%24formacao%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09-%20Daqui%20resulta%20a%20invalidade%20do%20modelo%20e%2C%20consequentemente%2C%20a%20aus%C3%AAncia%20de%20significado%20para%20os%20par%C3%A2metros%20estimados%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exerc%C3%ADcio%203.%20a)%20do%20Teste%20Interm%C3%A9dio%20de%202017-18%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Considere%20que%20num%20determinado%20estudo%20sobre%20a%20rela%C3%A7%C3%A3o%20entre%20os%20lucros%20empresariais%20(%24Y%24)%2C%20medido%20em%20euros%2C%20o%20n%C3%ADvel%20de%20qualifica%C3%A7%C3%A3o%20dos%20trabalhadores%20(%24X_1%24)%2C%20medido%20em%20anos%20de%20escolaridade%2C%20e%20as%20despesas%20em%20publicidade%20(%24X_2%24)%2C%20medida%20em%20euros%2C%20se%20conhecem%20os%20seguintes%20resultados%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Chat%7BY%7D%20%3D%209.73%20%2B%200.659%20X_1%20%2B%200.623%20%5Cln(X_2)%20%5Cqquad%20n%3D%2016%20%5Cqquad%20%5Chat%7B%5Csigma%7D%5E2%20%3D%200.152%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7BX%7D%7D'%5Cboldsymbol%7B%5Cmathrm%7By%7D%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20184%20%5C%5C%20280.17%20%5C%5C%20231.85%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(R2%2C%20SQE%2C%20SQR%2C%20SQT%2C%20Y_bar%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**a)**%20Apresente%20um%20coeficiente%20que%20lhe%20permita%20avaliar%20o%20grau%20de%20ajustamento%20do%20modelo%20e%20interprete-o.%22%22%22%3A%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24R%5E2%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7BSQE%7D%7D%7B%7BSQT%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cboldsymbol%7B%7B%5C%5Cbeta%7D%7D%7D%7D'X'y%20-%20n%5C%5Coverline%7B%7BY%7D%7D%5E2%7D%7D%7B%7By'y%20-%20n%5C%5Coverline%7B%7BY%7D%7D%5E2%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Csigma%7D%7D%5E2%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Cboldsymbol%7B%7B%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bu%7D%7D%7D%7D%7D%7D'%5C%5Cboldsymbol%7B%7B%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bu%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7Bn-p%7D%7D%20%5C%5CLeftrightarrow%20%5C%5Chat%7B%7Bu%7D%7D'%5C%5Chat%7B%7Bu%7D%7D%20%3D%20%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Csigma%7D%7D%5E2%20(n-p)%5C%5CLeftrightarrow%20SQR%20%3D%20%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Csigma%7D%7D%5E2%20(n-p)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24SQT%20%3D%20SQE%2BSQR%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5Cbegin%7B%7Bgathered%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5C%5Coverline%7B%7BY%7D%7D%20%3D%20%7BY_bar%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09SQE%20%3D%20%7Bround(SQE%2C4)%7D%20%5C%5Cquad%20SQR%20%3D%20%7Bround(SQR%2C4)%7D%20%5C%5Cquad%20SQT%20%3D%20%7Bround(SQT%2C4)%7D%20%5C%5C%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09R%5E2%20%3D%20%7Bround(R2%2C4)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5C%5Cend%7B%7Bgathered%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__()%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2016%0A%20%20%20%20sigma2_hat%20%3D%200.152%0A%20%20%20%20beta_hat%20%3D%20%5B9.73%2C%200.659%2C%200.623%5D%0A%20%20%20%20Xly%20%3D%20%5B184%2C%20280.17%2C%20231.85%5D%0A%20%20%20%20return%20Xly%2C%20beta_hat%2C%20n%2C%20sigma2_hat%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(Xly%2C%20n)%3A%0A%20%20%20%20Y_bar%20%3D%20Xly%5B0%5D%20%2F%20n%0A%20%20%20%20Y_bar%0A%20%20%20%20return%20Y_bar%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(Y_bar)%3A%0A%20%20%20%20Y_bar2%20%3D%20Y_bar**2%0A%20%20%20%20Y_bar2%0A%20%20%20%20return%20Y_bar2%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(Xly%2C%20Y_bar2%2C%20beta_hat%2C%20n%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20SQE%20%3D%20np.transpose(beta_hat).dot(Xly)%20-%20n%20*%20Y_bar2%0A%20%20%20%20SQE%0A%20%20%20%20return%20SQE%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(n%2C%20sigma2_hat)%3A%0A%20%20%20%20SQR%20%3D%20sigma2_hat%20*%20(n%20-%203)%0A%20%20%20%20SQR%0A%20%20%20%20return%20SQR%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(SQE%2C%20SQR)%3A%0A%20%20%20%20SQT%20%3D%20SQE%20%2B%20SQR%0A%20%20%20%20SQT%0A%20%20%20%20return%20SQT%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(SQE%2C%20SQT)%3A%0A%20%20%20%20R2%20%3D%20SQE%20%2F%20SQT%0A%20%20%20%20R2%0A%20%20%20%20return%20R2%2C%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A