import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.8.14%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Aula%209%20-%20Econometria%201%22%2C%0A%20%20%20%20css_file%3D%22notebookscss.css%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22margin-top%3A3em%3Bmargin-bottom%3A7em%3Bwidth%3D'100%25''%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3Cpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Csource%20srcset%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fnegative%2Frgb_ibs_en_horizontal_negative.png%22%20media%3D%22(prefers-color-scheme%3A%20dark)%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fmain%2Frgb_ibs_en_horizontal_main.png%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3C%2Fpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctitle%3EEconometria%20I%3C%2Ftitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csubtitle%3EAula%209%20%E2%80%94%20Regress%C3%A3o%20Linear%20M%C3%BAltipla%3C%2Fsubtitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cauthor%3ERicardo%20Gouveia-Mendes%3C%2Fauthor%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cemail%3E%3Ca%20href%3D%22mailto%3Aricardo.mendes%40iscte-iul.pt%22%3Ericardo.mendes%40iscte-iul.pt%3C%2Fa%3E%3C%2Femail%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csemester%3ELicenciatura%20em%20Economia%3Cbr%3E2.%C2%BA%20Semestre%202024-25%3C%2Fsemester%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Chr%20style%3D%22border-top%3A8px%20dotted%3Bmargin%3A2em%200em%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20O%20M%C3%A9todo%20dos%20M%C3%ADnimos%20Quadrados%20%3Cbr%3Ecom%20M%C3%BAltiplos%20Regressores%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20M%C3%A9todo%20dos%20M%C3%ADnimos%20Quadrados%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%2C%5Cdots%2C%5Chat%7B%5Cbeta%7D_k%7D%20%5C%2C%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Chat%7Bu%7D_i%5E2%20%26%3D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%2C%5Cdots%2C%5Chat%7B%5Cbeta%7D_k%7D%20%5C%2C%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Cleft(Y_i%20-%20%5Chat%7BY%7D_i%5Cright)%5E2%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%2C%5Cdots%2C%5Chat%7B%5Cbeta%7D_k%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Cleft(Y_i%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7B1i%7D%20-%20%5Cdots%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7Bki%7D%5Cright)%5E2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Condi%C3%A7%C3%B5es%20de%20primeira%20ordem%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Chat%7Bu%7D_i%5E2%7D%7B%5Cpartial%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%7D%20%3D%200%20%26%5CLeftrightarrow%20-2%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Cleft(Y_i%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7B1i%7D%20-%20%5Cdots%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7Bki%7D%5Cright)%20%3D0%20%5CLeftrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%5Cqquad%20%5CLeftrightarrow%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%20%3D%20%5Coverline%7BY%7D%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20%5Coverline%7BX%7D_1%20-%20%5Cdots%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_k%20%5Coverline%7BX%7D_k%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Chat%7Bu%7D_i%5E2%7D%7B%5Cpartial%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%7D%20%3D%200%20%26%5CLeftrightarrow%20-2%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%20%5Cleft(Y_i%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7B1i%7D%20-%20%5Cdots%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7Bki%7D%5Cright)%20%3D%200%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%5Cqquad%20%26%5Cquad%20%5Cvdots%20%5Cquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cqquad%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Chat%7Bu%7D_i%5E2%7D%7B%5Cpartial%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_k%7D%20%3D%200%20%26%5CLeftrightarrow%20-2%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7Bki%7D%20%5Cleft(Y_i%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7B1i%7D%20-%20%5Cdots%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20X_%7Bki%7D%5Cright)%3D0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%F0%9F%98%B5%20%C3%89%20imposs%C3%ADvel%20resolver%20um%20sistema%20desta%20complexidade%20desta%20forma...%20Solu%C3%A7%C3%A3o%3A%20**C%C3%A1lculo%20Matricial**!%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20A%20Representa%C3%A7%C3%A3o%20Matricial%20%3Cbr%3Edo%20Modelo%20de%20Regress%C3%A3o%20M%C3%BAltipla%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Suponhamos%20os%20seguintes%20vetores%20e%20matrizes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Bequation*%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Y_1%20%5C%5C%20Y_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5CY_N%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B11%7D%20%26%20X_%7B21%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7Bk1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B12%7D%20%26%20X_%7B22%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7Bk2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B1N%7D%20%26%20X_%7B2N%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7BkN%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbeta_0%20%5C%5C%20%5Cbeta_1%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%5Cbeta_k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u_1%20%5C%5C%20u_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20u_N%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bequation*%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ent%C3%A3o%20o%20nosso%20**modelo**%20pode%20escrever-se%20simplesmente%20como%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24y%20%3D%20X%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%2B%20u%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E%20ap%C3%B3s%20estima%C3%A7%C3%A3o%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Chat%7By%7D%20%3D%20X%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%5Cquad%5CRightarrow%5Cquad%20%5Chat%7Bu%7D%20%3D%20y%20-%20%5Chat%7By%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Logo%2C%20o%20nosso%20problema%20de%20estima%C3%A7%C3%A3o%20com%20o%20princ%C3%ADpio%20dos%20**m%C3%ADnimos%20quadrados**%20pode%20reescrever-se%20como%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%2C%5Cdots%2C%5Chat%7B%5Cbeta%7D_k%7D%20%5C%2C%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Chat%7Bu%7D_i%5E2%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%5C%2C%20%5Chat%7Bu%7D'%20%5Chat%7Bu%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%5C%2C%20(y%20-%20%5Chat%7By%7D)'%20(y%20-%20%5Chat%7By%7D)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%5C%2C%20(y%20-%20X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D)'%20(y%20-%20X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D)%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%5C%2C%20y'y%20-%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'y%20-%20y'X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%2B%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%5C%2C%20y'y%20-%20%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'y%20-%20%7B%5Ccolor%7Bred%7Dy'X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%2B%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%5C%2C%20y'y%20-%20%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'y%20-%20%7B%5Ccolor%7Bred%7D%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'y%7D%20%2B%20%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmin_%7B%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%5C%2C%20y'y%20-%202%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'y%20%2B%20%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'X%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20!!!%20tip%20%22%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Neste%20desenvolvimento%20usamos%20a%20propriedade%20das%20matrizes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24y'X%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20%5Cleft(y'X%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%5Cright)'%20%3D%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'X'y%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Reformula%C3%A7%C3%A3o%20das%20Condi%C3%A7%C3%B5es%20de%20Primeira%20Ordem%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20As%20**condi%C3%A7%C3%B5es%20de%20primeira%20ordem**%20podem%20reescrever-se%20como%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Chat%7Bu%7D'%20%5Chat%7Bu%7D%7D%7B%5Cpartial%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%7D%20%3D%200%20%26%5CLeftrightarrow%20-2%20X'y%20%2B%202X'X%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%200%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%5CLeftrightarrow%20X'X%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20X'y%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%5CLeftrightarrow%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%20%3D%20%5Cleft(X'X%5Cright)%5E%7B-1%7D%20X'y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20!!!%20tip%20%22%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Importa%20recordar%20as%20seguintes%20regras%20de%20diferencia%C3%A7%C3%A3o%20de%20matrizes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20u'v%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20v%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20v'u%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20v%7D%20%3D%20u%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sendo%20%24u%24%20e%20%24v%24%20dois%20vetores.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%5C%2C%20v'Av%7D%7B%5Cpartial%5C%2C%20v%7D%3D2Av%3D2v'A%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20em%20que%20%24A%24%20%C3%A9%20uma%20matriz%20sim%C3%A9trica.%20No%20nosso%20caso%2C%20%24A%3DX'X%24%20e%20%24v%3D%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Algumas%20decomposi%C3%A7%C3%B5es%20importantes%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X'X%20%26%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%201%20%26%20%5Cdots%20%26%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_%7B11%7D%20%26%20X_%7B12%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7B1N%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_%7B21%7D%20%26%20X_%7B22%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7B2N%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_%7Bk1%7D%20%26%20X_%7Bk2%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7BkN%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B11%7D%20%26%20X_%7B21%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7Bk1%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B12%7D%20%26%20X_%7B22%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7Bk2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%20X_%7B1N%7D%20%26%20X_%7B2N%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7BkN%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20N%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B2i%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7Bki%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%5E2%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%20X_%7B2i%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%20X_%7Bki%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7Bki%7D%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7Bki%7D%20X_%7B1i%7D%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7Bki%7D%20X_%7B2i%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%20X_%7Bki%7D%5E2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X'y%20%26%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20%26%201%20%26%20%5Cdots%20%26%201%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_%7B11%7D%20%26%20X_%7B12%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7B1N%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_%7B21%7D%20%26%20X_%7B22%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7B2N%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X_%7Bk1%7D%20%26%20X_%7Bk2%7D%20%26%20%5Cdots%20%26%20X_%7BkN%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Y_1%20%5C%5C%20Y_2%20%5C%5C%20Y_3%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20Y_N%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20Y_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B1i%7D%20Y_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7B2i%7D%20Y_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20X_%7Bki%7D%20Y_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Propriedades%20dos%20Estimadores%20OLS%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Propriedades%20Alg%C3%A9bricas%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Em%20tudo%20id%C3%AAnticas%20%C3%A0s%20anteriores%20(cf.%20%5Baula%205%5D(https%3A%2F%2Frgouveiamendes.org%2Fteaching%2Fiscte-iul%2Feconometrics-i%2Fnotebooks%2Faula-05%23b6ef90ce-6c88-46ae-ac8e-2f4a773a4e23))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Mas%20podemos%20reescrever%20as%20**somas%20dos%20quadrados**%20com%20matrizes%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SQT%20%26%3D%20%5Csum_%7Bi%7D%5EN%20%5Cleft(Y_i%20-%20%5Coverline%7BY%7D%5Cright)%5E2%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20Y_i%5E2%20-%20%20N%5Coverline%7BY%7D%5E2%20%26%3D%20y'y%20-%20N%5Coverline%7BY%7D%5E2%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SQE%20%26%3D%20%5Csum_%7Bi%7D%5EN%20%5Cleft(%5Chat%7BY%7D_i%20-%20%5Coverline%7BY%7D%5Cright)%5E2%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Chat%7BY%7D_i%20Y_i%20-%20N%5Coverline%7BY%7D%5E2%20%3D%20%5Chat%7By%7D'y%20-%20N%5Coverline%7BY%7D%5E2%20%26%3D%20%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'%20X'y%20-%20N%5Coverline%7BY%7D%5E2%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SQR%20%26%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Chat%7Bu%7D_i%5E2%20%3D%20SQT-%20SQE%20%26%3D%20y'y-%5Chat%7B%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%7D'%20X'y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20E%20nada%20se%20altera%20relativamente%20ao%20**coeficiente%20de%20determina%C3%A7%C3%A3o**%20%24R%5E2%3DSQE%2FSQT%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Mas%20**deixa%20de%20ser%20um%20bom%20indicador**%20sobre%20a%20relev%C3%A2ncia%20de%20uma%20vari%C3%A1vel%2C%20porque%20aumenta%20sempre%20pelo%20mero%20facto%20de%20acrescentarmos%20vari%C3%A1veis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Exerc%C3%ADcios%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Exerc%C3%ADcios%203.3%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Com%20base%20numa%20amostra%20de%2055%20observa%C3%A7%C3%B5es%20e%20no%20modelo%20abaixo%20apresentado%2C%20obtiveram-se%20os%20seguintes%20resultados%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24Y_i%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%20X_%7B1i%7D%20%2B%20%5Cbeta_2%20X_%7B2i%7D%20%2B%20u_i%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Bequation*%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(X'X%5Cright)%5E%7B-1%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.1%20%26%20-0.15%20%26%20-0.05%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-0.15%20%26%200.1%20%26%20-0.04%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-0.05%20%26%20-0.04%20%26%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X'y%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%2074%20%5C%5C%20282%20%5C%5C375%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y'y%20%3D%204019.75%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bequation*%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(beta%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**a)**%20Estime%20os%20coeficientes%20de%20regress%C3%A3o.%22%22%22%3A%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cboldsymbol%7B%7B%5C%5Cbeta%7D%7D%7D%7D%20%3D%20(X'X)%5E%7B%7B-1%7D%7DX'y%20%3D%20%5C%5Cbegin%7B%7Bbmatrix%7D%7D%0A%20%20%20%20%09%7Bbeta%5B0%5D%5B0%5D%7D%20%5C%5C%5C%5C%20%7Bbeta%5B1%5D%5B0%5D%7D%20%5C%5C%5C%5C%20%7Bbeta%5B2%5D%5B0%5D%7D%0A%20%20%20%20%09%5C%5Cend%7B%7Bbmatrix%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5C%5Chat%7B%7BY%7D%7D_i%20%3D%20%7Bbeta%5B0%5D%5B0%5D%7D%2B%20%7Bbeta%5B1%5D%5B0%5D%7D%20X_%7B%7B1i%7D%7D%20%7Bbeta%5B2%5D%5B0%5D%7D%20X_%7B%7B2i%7D%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(R2%2C%20SQE%2C%20SQT%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**b)**%20Comente%20o%20ajustamento%20do%20modelo.%22%22%22%3A%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20O%20que%20se%20pretende%20%C3%A9%20calcular%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%24%24R%5E2%3D%5C%5Cfrac%7B%7BSQE%7D%7D%7B%7BSQT%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%5C%5Chat%7B%7B%5C%5Cbeta%7D%7D'X'y%20-%20N%20%5C%5Coverline%7B%7BY%7D%7D%5E2%7D%7D%7B%7By'y%20-%20N%20%5C%5Coverline%7B%7BY%7D%7D%5E2%7D%7D%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B%7B%7Bround(SQE%2C%204)%7D%7D%7D%7B%7B%7Bround(SQT%2C%204)%7D%7D%7D%20%3D%20%7Bround(R2%2C%204)%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(np)%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%2055%0A%20%20%20%20InvXX%20%3D%20%5B%5B2.1%2C%20-0.15%2C%20-0.05%5D%2C%20%5B-0.15%2C%200.1%2C%20-0.04%5D%2C%20%5B-0.05%2C%20-0.04%2C%200.01%5D%5D%0A%20%20%20%20Xy%20%3D%20%5B%5B74%5D%2C%20%5B282%5D%2C%20%5B375%5D%5D%0A%20%20%20%20yy%20%3D%204019.75%0A%20%20%20%20beta%20%3D%20np.round(np.dot(InvXX%2C%20Xy)%2C%202)%0A%20%20%20%20beta%0A%20%20%20%20return%20InvXX%2C%20Xy%2C%20beta%2C%20n%2C%20yy%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(Xy%2C%20beta%2C%20n%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20SQE%20%3D%20(np.dot(np.transpose(beta)%2C%20Xy)%20-%20n%20*%20(Xy%5B0%5D%5B0%5D%20%2F%20n)%20**%202).item()%0A%20%20%20%20SQE%0A%20%20%20%20return%20SQE%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(Xy%2C%20n%2C%20yy)%3A%0A%20%20%20%20SQT%20%3D%20yy%20-%20n%20*%20(Xy%5B0%5D%5B0%5D%20%2F%20n)%20**%202%0A%20%20%20%20SQT%0A%20%20%20%20return%20SQT%2C%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(SQE%2C%20SQT)%3A%0A%20%20%20%20R2%20%3D%20SQE%20%2F%20SQT%0A%20%20%20%20R2%0A%20%20%20%20return%20R2%2C%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A