import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.8.14%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20width%3D%22medium%22%2C%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Aula%206%20-%20Econometria%201%22%2C%0A%20%20%20%20css_file%3D%22notebookscss.css%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22margin-top%3A3em%3Bmargin-bottom%3A7em%3Bwidth%3D'100%25''%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3Cpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Csource%20srcset%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fnegative%2Frgb_ibs_en_horizontal_negative.png%22%20media%3D%22(prefers-color-scheme%3A%20dark)%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%09%09%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgci.iscte-iul.pt%2F2022%2Fidentidade%2Ffiles%2Fbrand_v2%2Fescolas%2Frgb%2Fibs%2Fen%2Fhorizontal%2Fmain%2Frgb_ibs_en_horizontal_main.png%22%20width%3D%22250px%22%20style%3D%22float%3Aright%3B%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%3C%2Fpicture%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctitle%3EEconometria%20I%3C%2Ftitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csubtitle%3EAula%206%20%E2%80%94%20Propriedades%20dos%20estimadores%20OLS%3C%2Fsubtitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cauthor%3ERicardo%20Gouveia-Mendes%3C%2Fauthor%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cemail%3E%3Ca%20href%3D%22mailto%3Aricardo.mendes%40iscte-iul.pt%22%3Ericardo.mendes%40iscte-iul.pt%3C%2Fa%3E%3C%2Femail%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csemester%3ELicenciatura%20em%20Economia%3Cbr%3E2.%C2%BA%20Semestre%202024-25%3C%2Fsemester%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Chr%20style%3D%22border-top%3A8px%20dotted%3Bmargin%3A2em%200em%3B%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20statsmodels.api%20as%20sm%0A%20%20%20%20import%20statsmodels.formula.api%20as%20smf%0A%20%20%20%20import%20plotly.express%20as%20px%0A%20%20%20%20import%20plotly.graph_objects%20as%20go%0A%20%20%20%20return%20go%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20px%2C%20sm%2C%20smf%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Propriedades%20Estat%C3%ADsticas%20dos%20Estimadores%20OLS%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Os%20estimadores%20OLS%20dependem%20de%20dados%20recolhidos%20por%20**amostragem**%20a%20partir%20de%20uma%20popula%C3%A7%C3%A3o%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Isso%20faz%20deles%20tamb%C3%A9m%20**vari%C3%A1veis%20aleat%C3%B3rias**%3A%20consoante%20a%20amostra%2C%20teremos%20diferentes%20valores%20de%20%24%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%24%20e%20%24%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%C3%89%2C%20pois%2C%20poss%C3%ADvel%20estudar%20o%20comportamento%20do%20seu%20**valor%20esperado**%20e%20da%20sua%20**vari%C3%A2ncia**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Valor%20esperado%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20!!!%20note%20%22Centrados%20ou%20N%C3%A3o%20Enviesados%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09Quanto%20ao%20valor%20esperado%2C%20os%20estimadores%20OLS%20s%C3%A3o%20centrados%20ou%20n%C3%A3o%20enviesados%2C%20ou%20seja%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%5Cright)%20%3D%20%5Cbeta_0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Cleft(%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%5Cright)%20%3D%20%5Cbeta_1%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*Prova%20para%20%24%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%24%3A*%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5Cleft(Y_i%20-%20%5Coverline%7BY%7D%5Cright)%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%20%3D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5Cleft(%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%20X_i%20%2B%20u_i%20-%20%5Coverline%7BY%7D%5Cright)%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cbeta_1%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Aplicando%20o%20valor%20esperado%20condicional%20em%20%24X%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Cbeta_1%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%5Cbeta_1%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft%5B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%5Cright%5D%7D%7B%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft%5B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright%5D%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cbeta_1%20%2B%200%20%3D%20%5Cbeta_1%20%5Cquad%5Cblacksquare%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*Prova%20para%20%24%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%24%3A*%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%20%26%3D%20%5Coverline%7BY%7D%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20%5Coverline%7BX%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20Y_i%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20%5Coverline%7BX%7D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%09%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%20X_i%20%2B%20u_i%5Cright)%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20%5Coverline%7BX%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20N%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Cbeta_1%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20X_i%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20%5Coverline%7BX%7D%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20(%5Cbeta_1%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1)%20%5Coverline%7BX%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Aplicando%20o%20valor%20esperado%20condicional%20em%20%24X%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5B%5Cbeta_0%5D%20%2B%20(%5Cbeta_1%20-%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%5D)%20%5Coverline%7BX%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20%5Cright)%20%3D%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cmathbb%7BE%7D%20%5Bu_i%5D%20%3D%20%5Cbeta_0%20%5Cquad%5Cblacksquare%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Vari%C3%A2ncia%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathrm%7BVar%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%5Cright)%20%26%5Cequiv%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csigma%5E2_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Cbeta_1%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5C%2C%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20(u_i)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5C%2C%20%5Csigma%5E2%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathrm%7BVar%7D%5Cleft(%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%5Cright)%20%26%5Cequiv%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csigma%5E2_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%7D%20%3D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Cbeta_0%20%2B%20(%5Cbeta_1%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1)%20%5Coverline%7BX%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20-%20%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%20%5Coverline%7BX%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20-%20%5Cbeta_1%20%5Coverline%7BX%7D%20-%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%20%5Coverline%7BX%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20-%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%20%5Coverline%7BX%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20%5Cright)%20%2B%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%20%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%20%5Coverline%7BX%7D%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN%5E2%7D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20u_i%20%5Cright)%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Coverline%7BX%7D%5E2%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%20%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7BN%5E2%7D%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Coverline%7BX%7D%5E2%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5C%2C%20u_i%20%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7BN%5E2%7D%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Coverline%7BX%7D%5E2%7D%7B%5Cleft(%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%5Cright)%5E2%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%20%5Cmathrm%7BVar%7D%20%5Cleft(%20u_i%20%20%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma%5E2%7D%7BN%5E2%7D%20%2B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Coverline%7BX%7D%5E2%5C%2C%20%5Csigma%5E2_u%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Cleft(X_i%20-%20%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20A%20vari%C3%A2ncia%20dos%20estimadores%20OLS%20%C3%A9%20tanto%20**menor**%20quanto%20**maior**%20for%20a%20vari%C3%A2ncia%20amostral%20dos%20regressores%20%24S%5E2_X%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20(X_i-%5Coverline%7BX%7D)%5E2%20%2F%20(N-1)%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20A%20vari%C3%A2ncia%20dos%20estimadores%20OLS%20%C3%A9%20tanto%20**menor**%20quanto%20**menor**%20for%20a%20vari%C3%A2ncia%20dos%20erros%20%24%5Csigma%5E2%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%C3%89%2C%20al%C3%A9m%20disso%2C%20poss%C3%ADvel%20provar%20que%20os%20estimadores%20OLS%20s%C3%A3o%20os%20estimadores%20com%20**menor%20vari%C3%A2ncia**%20entre%20os%20estimadores%20centrados%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cbr%3E%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%F0%9F%98%95%20**Problema%3A**%20%24%5Csigma%5E2%24%20n%C3%A3o%20%C3%A9%20observ%C3%A1vel%2C%20pois%20os%20**erros%20n%C3%A3o%20s%C3%A3o%20observ%C3%A1veis**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Mas%20podemos%20estimar%20**atrav%C3%A9s%20dos%20res%C3%ADduos**%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Chat%7B%5Csigma%7D%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7BN-2%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BN%7D%20%5Chat%7Bu%7D_i%5E2%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Logo%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Chat%7B%5Csigma%7D%5E2_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_0%7D%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Chat%7B%5Csigma%7D%5E2%20%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Coverline%7BX%7D%5E2%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Cleft(X_i-%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Chat%7B%5Csigma%7D%5E2_%7B%5Chat%7B%5Cbeta%7D_1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%5Cfrac%7B%5Chat%7B%5Csigma%7D%5E2%7D%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN%20%5Cleft(X_i-%5Coverline%7BX%7D%5Cright)%5E2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Em%20resumo%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24Y%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%20X%20%2B%20u%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Uma%20**regress%C3%A3o%20simples**%20consiste%20na%20estima%C3%A7%C3%A3o%20de%20um%20modelo%20econ%C3%B3mico%20que%20procura%20explicar%20uma%20vari%C3%A1vel%20de%20interesse%20**apenas%20com%20uma%20vari%C3%A1vel%20explicativa**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20**m%C3%A9todo%20OLS**%20procura%20estabelecer%20uma%20rela%C3%A7%C3%A3o%20linear%20entre%20as%20vari%C3%A1veis%2C%20**minimizando%20a%20o%20quadrado%20das%20dist%C3%A2ncias%20verticais%20do%20conjunto%20das%20observa%C3%A7%C3%B5es%20%C3%A0%20reta%20estimada**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Os%20par%C3%A2metros%20**%24%5Cbeta_0%24%20e%20%24%5Cbeta_1%24%20s%C3%B3%20t%C3%AAm%20significado%20se%20%24%5Cmathbb%7BE%7D(u%7CX)%3D0%24**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20A%20condi%C3%A7%C3%A3o%20anterior%20garante%2C%20tamb%C3%A9m%2C%20que%20**os%20estimadores%20OLS%20para%20%24%5Cbeta_0%24%20e%20%24%5Cbeta_1%24%20s%C3%A3o%20centrados**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Com%20homoscedasticidade%20os%20estimadores%20OLS%20s%C3%A3o%20eficientes**%2C%20ou%20seja%2C%20t%C3%AAm%20a%20m%C3%ADnima%20vari%C3%A2ncia%20poss%C3%ADvel%20entre%20quaisquer%20estimadores%20centrados%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20!!!%20info%20%22Pressupostos%20OLS%22%0A%0A%20%20%20%20%09%091.%20Amostra%20aleat%C3%B3ria%0A%0A%20%20%20%20%09%092.%20Vari%C3%A1vel%20explicativa%20n%C3%A3o%20constante%0A%0A%20%20%20%20%09%093.%20Linearidade%20dos%20par%C3%A2metros%0A%0A%20%20%20%20%09%094.%20%20%24%5Cmathbb%7BE%7D(u%7CX)%3D0%24%0A%0A%20%20%20%20%09%095.%20Homoscedasticidade%3A%20%24%5Cmathrm%7BVar%7D(u%7CX)%20%3D%20%5Csigma%5E2%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20!!!%20info%20%22Propriedades%20OLS%22%0A%0A%20%20%20%20%09%091.%20**B**%20-%20*Best*%0A%0A%20%20%20%20%09%092.%20**L**%20-%20*Linear*%0A%0A%20%20%20%20%09%093.%20**U**%20-%20*Unbiased*%0A%0A%20%20%20%20%09%094.%20**E**%20-%20*Efficient*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D%22equal%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Exerc%C3%ADcios%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ch2%3EExerc%C3%ADcio%202.4%20%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fcdn.icon-icons.com%2Ficons2%2F2107%2FPNG%2F32%2Ffile_type_stata_icon_130148.png%22%20style%3D%22display%3Ainline%3Bwidth%3A0.9em%3Bmargin-left%3A0.25em%3B%22%2F%3E%3C%2Fh2%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Assuma%20que%20lhe%20s%C3%A3o%20fornecidos%20os%20seguintes%20dados%20sobre%20a%20despesa%20em%20publicidade%20(%24X%24)%20e%20as%20vendas%20de%20detergente%20(%24Y%24)%20de%2010%20empresas%2C%20em%20euros%2C%20num%20determinado%20per%C3%ADodo%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(pd)%3A%0A%20%20%20%20ex4_df%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22publicidade%22%3A%20%5B2%2C%204.8%2C%203%2C%205%2C%202.5%2C%204%2C%203.4%2C%204.6%2C%203.5%2C%204.2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22vendas%22%3A%20%5B5%2C%209.5%2C%206%2C%2010%2C%205.5%2C%207.7%2C%207.2%2C%209%2C%207%2C%208.6%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ex4_df%0A%20%20%20%20return%20ex4_df%2C%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20O%20modelo%20proposto%20para%20a%20rela%C3%A7%C3%A3o%20existente%20entre%20as%20vari%C3%A1veis%20%C3%A9%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24Y%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%20X%20%2B%20u%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex4_lm%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**a)**%20Estime%20e%20interprete%20%24%5C%5Cbeta_0%24%20e%20%24%5C%5Cbeta_1%24.%20Quanto%20se%20espera%20que%20as%20vendas%20aumentem%2C%20caso%20se%20gastem%20mais%20%E2%82%AC3%20em%20publicidade%3F%22%22%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20No%20Stata%20correremos%20o%20comando%3A%20%60regress%20Y%20X%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20output%20permite-nos%20ver%20que%20o%20nosso%20modelo%20estimado%20%C3%A9%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.center(mo.plain_text(ex4_lm.summary()))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Usando%20o%20Stata%20como%20calculadora%20poderemos%20introduzir%3A%20%60display%201.7*3%60%2C%20que%20nos%20mostrar%C3%A1%20%24%5C%5Chat%7BY%7D%20%3D%205.1%24.%20Ou%20seja%2C%20se%20os%20gastos%20em%20publicidade%20aumentarem%203%E2%82%AC%20prev%C3%AA-se%20que%20as%20vendas%20aumentem%205.1%E2%82%AC.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(ex4_df%2C%20smf)%3A%0A%20%20%20%20ex4_lm%20%3D%20smf.ols(%22vendas%20~%20publicidade%22%2C%20ex4_df).fit()%0A%20%20%20%20return%20ex4_lm%2C%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex3a_plot%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**b)**%20Represente%20graficamente%20os%20valores%20observados%2C%20bem%20como%20a%20reta%20estimada.%22%22%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Para%20gerar%20%24%5Chat%7BY%7D_i%24%20para%20todas%20as%20observa%C3%A7%C3%B5es%20%24X_i%24%20de%20que%20dispomos%20h%C3%A1%20duas%20alternativas%20no%20Stata%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%60gen%20yhat1%20%3D%201.26%20%2B%201.7%20*%20X%60%20(solu%C3%A7%C3%A3o%20de%20amador%20%F0%9F%A4%AD)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%60predict%20yhat2%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Para%20gerar%20o%20gr%C3%A1fico%2C%20digitamos%3A%20%60scatter%20yhat1%20Y%20X%2C%20connect(l%20.)%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ex3a_plot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex4_df%2C%20ex4_lm%2C%20go)%3A%0A%20%20%20%20ex3a_plot%20%3D%20go.Figure()%0A%20%20%20%20ex3a_plot.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dex4_df%5B%22publicidade%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dex4_df%5B%22vendas%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Observa%C3%A7%C3%B5es%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ex3a_plot.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dex4_df%5B%22publicidade%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dex4_lm.fittedvalues%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Regress%C3%A3o%20OLS%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Blines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ex3a_plot.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title_text%3D%22Rela%C3%A7%C3%A3o%20entre%20as%20Vendas%20de%20Detergente%20e%20a%20Despesa%20em%20Publicidade%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Vendas%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Publicidade%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font_family%3D%22Montserrat%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font_size%3D14%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%22%22%0A%20%20%20%20return%20ex3a_plot%2C%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex4_lm%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**c)**%20Calcule%20o%20valor%20do%20res%C3%ADduo%20para%20cada%20observa%C3%A7%C3%A3o%2C%20bem%20como%20a%20m%C3%A9dia%20de%20todos%20os%20res%C3%ADduos.%22%22%22%3A%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Temos%2C%20novamente%2C%20duas%20alternativas%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%60gen%20uhat1%20%3D%20Y%20-%20yhat1%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%60predict%20uhat2%2C%20resid%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20valor%20dos%20res%C3%ADduos%20%C3%A9%20pois%3A%20%7Bround(ex4_lm.resid%2C%202).to_list()%7D%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20A%20m%C3%A9dia%20%C3%A9%2C%20como%20esperado%2C%20%24%5C%5Coverline%7B%7B%5C%5Chat%7B%7Bu%7D%7D%7D%7D%3D0%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**e)**%20Qual%20o%20valor%20das%20vendas%20previsto%20para%20uma%20empresa%20que%20gaste%20%E2%82%AC5%2C20%20em%20publicidade%3F%22%22%22%3A%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Novamente%20usando%20o%20Stata%20como%20calculadora%3A%20%60display%201.26%20%2B%201.7%20*%205.2%60%20obtemos%20um%20resultado%20de%20%24%5Chat%7BY%7D%3D10.1%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ch2%3EExerc%C3%ADcio%202.5%20%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fcdn.icon-icons.com%2Ficons2%2F2107%2FPNG%2F32%2Ffile_type_stata_icon_130148.png%22%20style%3D%22display%3Ainline%3Bwidth%3A0.9em%3Bmargin-left%3A0.25em%3B%22%2F%3E%3C%2Fh2%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Use%20os%20dados%20em%20%60Sono.dta%60%20para%20estudar%20se%20existe%20um%20%E2%80%9Ctrade-off%E2%80%9D%20entre%20o%20tempo%20passado%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dormir%20por%20semana%20e%20o%20tempo%20passado%20em%20trabalho%20pago.%20Qualquer%20das%20vari%C3%A1veis%20poderia%20ser%20usada%0A%20%20%20%20%20%20%20%20como%20independente.%20Para%20concretizar%2C%20estime%20o%20modelo%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24sono%20%3D%20%5Cbeta_0%20%2B%20%5Cbeta_1%5C%2C%20trab%20%2B%20u%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex5a_lm%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**a)**%20Apresente%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20estimada%2C%20juntamente%20com%20o%20n%C3%BAmero%20de%20observa%C3%A7%C3%B5es%20e%20o%20%24R%5E2%24.%20O%20que%20%C3%A9%20que%20significa%20o%20termo%20constante%20nesta%20equa%C3%A7%C3%A3o%3F%22%22%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Para%20estimar%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20digitamos%20%60regress%20sono%20trab%60.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20A%20equa%C3%A7%C3%A3o%20estimada%20%C3%A9%20dada%20por%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.center(mo.plain_text(ex5a_lm.summary()))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20n%C3%BAmero%20de%20observa%C3%A7%C3%B5es%20%C3%A9%20%24N%20%3D%20%7Bex5a_lm.nobs%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20%24R%5E2%20%3D%20%7Bround(ex5a_lm.rsquared%2C4)%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20O%20termo%20constante%20significa%20o%20valor%20esperado%20de%20minutos%20de%20sono%20semanais%20de%20quem%20n%C3%A3o%20trabalha.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20__(pd%2C%20smf)%3A%0A%20%20%20%20ex5_df%20%3D%20pd.read_stata(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Google%20Drive%2FISCTE%20Teaching%2FEconometrics1%2Fdata%2FSono.dta%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ex5a_lm%20%3D%20smf.ols(%22sono%20~%20trab%22%2C%20ex5_df).fit()%0A%20%20%20%20return%20ex5_df%2C%20ex5a_lm%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex5a_plot%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**b)**%20Represente%20graficamente%20os%20valores%20observados%20e%20os%20valores%20previstos.%22%22%22%3A%20ex5a_plot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex5_df%2C%20ex5a_lm%2C%20go)%3A%0A%20%20%20%20ex5a_plot%20%3D%20go.Figure()%0A%20%20%20%20ex5a_plot.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dex5_df%5B%22trab%22%5D%2C%20y%3Dex5_df%5B%22sono%22%5D%2C%20name%3D%22Observa%C3%A7%C3%B5es%22%2C%20mode%3D%22markers%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ex5a_plot.add_trace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20go.Scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dex5_df%5B%22trab%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dex5a_lm.fittedvalues%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20name%3D%22Regress%C3%A3o%20OLS%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%3D%22markers%2Blines%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20ex5a_plot.update_layout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Rela%C3%A7%C3%A3o%20entre%20o%20Sono%20e%20o%20Trabalho%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20yaxis_title%3D%22Sono%20(min%2Fsem)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xaxis_title%3D%22Trabalho%20(min%2Fsem)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font_family%3D%22Montserrat%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20font_size%3D14%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%22%22%0A%20%20%20%20return%20ex5a_plot%2C%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20__(ex5a_lm%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22**c)**%20Se%20trabalharmos%20mais%202%20horas%20por%20semana%2C%20em%20quanto%20se%20estima%20que%20diminua%20o%20tempo%20semanal%20de%20sono%3F%20O%20que%20pensa%20da%20magnitude%20deste%20efeito%3F%22%22%22%3A%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Introduzindo%20o%20comando%20%60display%20-0.1507458*120%60%20obtemos%20o%20resultado%20de%20%7Bround(ex5a_lm.params%5B%22trab%22%5D%20*%20120%2C%204)%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Portanto%2C%20espera-se%20que%20o%20tempo%20semanal%20de%20sono%20diminua%2018%20minutos%20se%20trabalharmos%20mais%202%20horas%20(120%20minutos)%20por%20semana%2C%20pelo%20que%20o%20efeito%20parece%20reduzido.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A